円形を翼形に写す〜ジューコフスキー変換〜

概要

流体力学の教科書に載っているジューコフスキー変換を試してみます。
この変換により、円形を翼形に変換できます。

準備

円形の用意

翼形に変換できる円形には条件があるようです。次の手順で作成すると、条件を満たせます。

中心がy軸上にある円（以下、内接円と呼ぶ）を用意する
内接円とx軸の交点\((a,0)\)で外接する円（以下、外接円）を用意する\((a>0)\)
外接円の中心を\((x_1,y_1)\)、半径を\(R\)とする

ジューコフスキー変換前の円 — 図の出典：『高校数学でわかる流体力学　ベルヌーイの定理から翼に働く揚力まで』講談社/竹内淳

外接円の表現

外接円周上の点\((x,y)\)は、次のように表せます。
\begin{eqnarray}
\\x &=& R\cos\theta + x_1 \tag{1} \\
\\y &=& R\sin\theta + y_1 \tag{2} \\
\end{eqnarray}

また、点\((a,0)\)で外接するという条件から、半径\(R\)は次の条件を満たします。
\begin{eqnarray}
\\R = \sqrt{(a-x_1)^2+y_1^2} \tag{3} \\
\end{eqnarray}

ジューコフスキー変換の式

外接円周上の点\((x,y)\)を、次式で\((X,Y)\)に変換します。
\begin{eqnarray}
\\X &=& x + \frac{a^2x}{x^2+y^2} \tag{4} \\
\\Y &=& y – \frac{a^2y}{x^2+y^2} \tag{5} \\
\end{eqnarray}

(4,5)式に(1,2)式を代入すると、\(\theta\)を変数とした形で表現できます。

\begin{eqnarray}
\\X(\theta) &=& R\cos\theta + x_1 + \frac{a^2(R\cos\theta+x_1)}{R^2+x_1^2+y_1^2+2R(x_1\cos\theta+y_1\sin\theta)}\\
\\Y(\theta) &=& R\sin\theta + y_1 + \frac{a^2(R\sin\theta+y_1)}{R^2+x_1^2+y_1^2+2R(x_1\cos\theta+y_1\sin\theta)}\\
\end{eqnarray}

\(R\) は(3)式で表せるので、パラメータは \(a,x_1,y_1\) の３つにまとめられます。