三角関数(sin,cos)を任意の区間で積分する

三角関数（sin,cos）の積分をする時、様々な性質を利用することが多いです。
ここでは、基本的な形の三角関数 \(\sin(mx), \cos(mx)\)を任意の区間で積分し、その特徴を見ることにします。

次の2種類の積分を考えます。
\begin{eqnarray}
\int_a^b \sin(mx)dx \\
\int_a^b \cos(mx)dx
\end{eqnarray}

まず、三角関数の対称性による基本的な特徴を見てみましょう。
\(m=1\) のとき、\(\sin(x),\cos(x)\)の周期\(2\pi\)で積分すると、プラス部分とマイナス部分が打ち消しあって \(0\) になることがわかります。

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = 0
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx = 0
\end{eqnarray}

区間\([a,b]\) と \(m\) を色々と変えて積分してみましょう。
整数でなくても大丈夫です。

下記の条件を満たす \(a,b,m\) を入力し、「表示」ボタンを押してください。
\(a,b\) は、それぞれ [入力値 × \(\pi\)] となります。

\(a=\) \(\pi\)
\(b=\) \(\pi\)
\(m=\)

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色々と試して見ると、例えば次の特徴が確認できます。

今回は \(\sin(mx)\) と \(\cos(mx)\) を別々に積分しましたが、積 \(\sin(mx) \cos(nx)\) を積分すると別の特徴も見えてきます。次の記事で紹介しているので、ご参照ください。