ワイブル分布に従う健全度推移

概要

下水道管渠の劣化をワイブル分布を用いて予測する場合、
具体的にどのように健全度が推移するか調べます。

参考

下水道維持管理について国土交通省が公開している次のページの下部にある、
下水道事業のストックマネジメント実施に関するガイドライン-2015年版-
【付録5】管渠の健全度予測式に記載されている内容を参考にします。
www.mlit.go.jp

説明

布設から \(t\) 年経過後における健全率\(R(t)\)が、
ワイブル分布に従って推移すると仮定します。
このとき、形状パラメータを\(m\)、尺度パラメータを \( \eta \) とすると、

\(
\begin{align}
R(t;m,\eta) = \exp \left\{ – \left( \frac{t}{\eta} \right)^m \right\}.
\end{align}
\)

下水道管渠の劣化状態は、劣化なし、緊急度iii、緊急度ii、緊急度i の4段階で表されますが、
上記の式で予測するのは、「健全」か「故障」の2択です。
そのため、どの緊急度までを「健全」とみなすかを決める必要があります。
考えられるパターンは次の３通りです。
パターンに応じて調査データを健全データと故障データに分類し、
予測式にフィッティングして \(m\) および \( \eta \) を求める必要があります。

パターン	劣化なし	緊急度iii	緊急度ii	緊急度i
1	健全	健全	健全	故障
2	健全	健全	故障	故障
3	健全	故障	故障	故障

ここではパラメータが求められたと仮定して、劣化予測を考えます。
パターン \(i\) の健全率を \( R_i (t;m_i,\eta_i) \)とすると、
布設から \(t\) 年経過後の緊急度の割合は次のように考えることができます。

\( p_o = R_3 (t;m_3,\eta_3) \)
\( p_{iii} = R_2 (t;m_2,\eta_2) – R_3(t;m_3,\eta_3) \)
\( p_{ii} = R_1 (t;m_1,\eta_1) – R_2(t;m_2,\eta_2) \)
\( p_i = 1 – R_1(t;m_1,\eta_1) \)

ここで、 \( p_o, p_{iii}, p_{ii}, p_i \) は、劣化なし、緊急度iii、緊急度ii、緊急度i の割合です。