概要
カオスの性質を比較的容易に確認できる写像として、
次に示す標準写像が知られています。
\begin{align}
p_{n+1} &= p_n + k\sin\theta_n \\
\theta_{n+1} &= \theta_n + p_{n+1}
\end{align}
p_{n+1} &= p_n + k\sin\theta_n \\
\theta_{n+1} &= \theta_n + p_{n+1}
\end{align}
ここでは、\( \theta, p \) それぞれについて周期的境界条件を課した \( [0,2\pi] \) の領域内で写像を繰り返すことを考えます。
標準写像の性質を理解するヒント
- \( n \) は最大 \( 100,000 \) まで設定できますが、計算に時間がかかります。まず \( n = 5,000 \) 程度で試してください。
- \( k=1.1 \) のとき、次の初期値について \(n\) ステップの振る舞いの違いを見てみましょう。
- \((\theta_0, p_0)=(2.0, 0.0)\)
- \((\theta_0, p_0)=(1.5, 2.0)\)
- \((\theta_0, p_0)=(1.5, 2.5)\)
- 計算に時間がかかりますが、\(k=1,1\) で \((\theta_0, p_0)=(1.5, 2.5)\)を \(n = 50,000 \) ステップ以上計算すると、空間全体の構造が見えてきます。
- \(n\) を \(50,000\)以上に固定し、
- \((\theta_0, p_0)=(1.5, 2.5)\) に対して\(k=1,1, k=1.3, k=1.5, k=2.0…\) と大きくして空間構造の変化を見てみましょう。
- 白くぽっかり空いた空間内に初期値を設定すると、その空間内にとどまることを確認しましょう。
初期値 \( \theta_0, p_0 \) とパラメータの設定
\( \theta_0 = \) \(( 0 \leq \theta_0 \leq 2\pi )\)
\( p_0 = \) \(( 0 \leq p_0 \leq 2\pi )\)
カオスパラメータ \( k = \)
ステップ数（写像の回数） \( n = \)
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